Uma função do 2º grau ou quadrática é aquela que associa a cada número \(x \in \mathbb{R}\) o elemento \((ax² + bx + c) \in \mathbb{R}\) em que a, b e c são números reais com \( a \neq 0 \) .
O trinômio \(ax² + bx + c \) pode ser reescrito como:
$$ ax² + bx + c = a \left[x² + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right] $$
Vamos agora usar o método de completar quadrado, que, neste caso, consiste em somar \( \frac{b²}{4a²} \) e subtrair o mesmo valor na equação acima.
$$ a \left[x² + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right] = a \left[x² + 2 \frac{b}{2a} x + \frac{b²}{4a²} - \frac{b²}{4a²} + \frac{c}{a} \right]$$
Agrupando o termo em x em forma de quadrado, fica:
$$ ax² + bx + c = a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 + \frac{4ac - b²}{4a²} \right]$$
O lado direito da igualdade acima é chamado forma canônica do trinômio do segundo grau. A vantagem de escrever o trinômio do segundo grau nesta forma é que ela nos dá a fórmula de Bhaskara quase de maneira imediata.
Primeiramente, vamos forçar com que a expressão acima seja igual a zero e depois isolamos a incógnita x:
$$ \begin{equation} \label{eq1} \begin{split} ax² + bx + c = 0 & \Leftrightarrow a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 + \frac{4ac - b²}{4a²} \right] = 0 \newline & \Leftrightarrow \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b²}{4a²} = 0 \newline & \Leftrightarrow \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b² - 4ac}{4a²} \newline & \Leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b² - 4ac}}{2a} \newline & \Leftrightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \end{split} \end{equation} $$
A expressão anterior só faz sentido se \( b² - 4ac \geq 0 \) . Então, costuma-se chamar esse valor de discriminante \( \Delta \). Se \( \Delta \lt 0 \), obteremos raízes complexas. Como você já deve ter percebido, a equação resultante das contas feitas em cima da forma canônica é a famosa equação de Bhaskara. $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} $$
O método de completar quadrado é estranho a primeira vista, mas é bastante útil também em outras situações.
Publicado em: sábado, 4 de setembro de 2021